O problema do anel de guardanapo
Fure uma esfera bem no meio com um cilindro. O que sobra é um anel de altura h. Se a altura for a mesma, o volume do anel também é, não importa o tamanho da esfera: um anel feito de uma laranja e um feito da Terra, ambos com a mesma altura, têm exatamente o mesmo volume.
Volumes
| Anel A | Anel B | Esfera de diâmetro h |
|---|
Medidas em centímetros. Volumes em cm³.
O furo não é escolhido à parte
Parece que dá para mexer em três coisas: o tamanho da esfera, a largura do furo e a altura do anel. Mas só duas são livres. Cortando a esfera ao meio, o raio da esfera R, o raio do furo a e metade da altura h/2 formam um triângulo retângulo:
Os dois cortes estão na mesma escala.
R² = a² + (h/2)²
Escolhidas duas medidas, a terceira já está decidida. Por isso a pergunta "e se eu mudasse só o furo, mantendo a altura?" não tem como acontecer na mesma esfera:
- Mesma esfera, furo mais largo: o anel fica mais baixo. A altura muda, e o volume muda junto (fica menor).
- Mesma altura, furo mais largo: só cabe numa esfera maior. É esse o caso surpreendente: os anéis A e B acima têm a mesma altura, furos diferentes e o mesmo volume.
A regra, então, é: o volume do anel depende só da altura. Mudou a altura, mudou o volume; manteve a altura, pode trocar a esfera (e, com ela, o furo) à vontade.
Por que o volume não muda
Corte tudo com um plano horizontal na altura y (é a fatia destacada no 3D e na tabela). No anel, a fatia é uma coroa: um círculo de raio √(R² − y²) menos o furo, de raio a:
área = π(R² − y²) − πa²
Pelo triângulo acima, a² = R² − h²/4. Trocando:
área = π(R² − y²) − π(R² − h²/4) = π(h²/4 − y²)
O R sumiu. Em qualquer altura y, a fatia do anel tem a mesma área, seja qual for a esfera, e essa é justamente a área da fatia de uma esfera de diâmetro h. Se dois sólidos têm fatias de mesma área em todas as alturas, eles têm o mesmo volume (princípio de Cavalieri). Logo:
V = πh³ / 6
Na prática: numa esfera maior o anel dá uma volta mais comprida, mas a parede dele fica mais fina, porque o furo precisa ser mais largo para manter a altura. As duas coisas se compensam na medida exata.